数列an中,sn=-b*an+1-1/(1+b)^n1:求a(n+1)与an的关系.2：写出a1,a2,a3,a4,并归纳an3:当b=2求基线limsn

Question

数列an中,sn=-b*an+1-1/(1+b)^n
1:求a(n+1)与an的关系.
2：写出a1,a2,a3,a4,并归纳an
3:当b=2求基线lim sn

Answer 1

1,n=1,a1=-b*a1+1-1/(b+1),得到a1=b/(b+1)^2
sn=-b*an+1-1/(1+b)^n
则s(n+1)=-b*a(n+1)+1-1/(1+b)^(n+1)
两式相减得到a(n+1)=-b*a(n+1)+b*an+b/(1+b)^(n+1)
2,将a(n+1)=-b*a(n+1)+b*an+b/(1+b)^(n+1)
化简一下可以得到a(n+1)=b*an/(1+b)+b/(1+b)^(n+2)
进一步变形可以得到a(n+1)+b/(1+b)^(n+2)(b-1)=b/(b+1)[an+b/(1+b)^(n+1)(b-1)](b不等于1）
设cn=an+b/(1+b)^(n+1)(b-1)
于是有c(n+1)=b/(b+1)cn
c1=a1+b/(1+b)^2(b-1)
{cn}是一个等比数列,公比为q=b/(b+1)
所以有cn=c1[b/(b+1)]^(n-1)
于是有an=cn-b/(1+b)^(n+1)(b-1)
=[b^(n+1)-b]/[(b+1)^(n+1)(b-1)]
a1=b/(b+1)^2
a2=b/(b+1)^2
a3=b(b^2+b+1)/(b+1)^4
a4=b(b^3+b^2+b+1)/(b+1)^5.
3,当b=2时,an=[2^(n+1)-2]/3^(n+1)
sn=-2[2^(n+1)-2]/3^(n+1)+1-1/3^n
所以有当n趋于无穷大时,limsn=1.