△ABC中,BC边上的两点EF把BC三等份,BM是AC边上的中线,AE,AF与BM分别交于DG两点,求BD：DG：GM

Question

△ABC中,BC边上的两点EF把BC三等份,BM是AC边上的中线,AE,AF与BM分别交于DG两点,求BD：DG：GM

Answer 1

连结FM.
∵E、F把BC三等分,∴F是CE的中点,又M是CA的中点,∴MF是△CAE的中位线,
∴MF＝AE/2、且MF∥AE.
∵E、F把BC三等分,∴E是BF的中点,又DE∥MF,∴BD＝DM、且DE＝MF/2.
由MF＝AE/2、DE＝MF/2,得：DE＝AE/4,∴AE－DE＝AE－AE/4,∴AD＝3AE/4.
∵AD∥MF,∴△ADG∽△FMG,∴DG/GM＝AD/MF＝（3AE/4）/（AE/2）＝3/2,
∴DG＝（3/2）GM,∴DG＋（3/2）DG＝（3/2）（GM＋DG）＝（3/2）DM,
∴DG＝（3/2）DM/（1＋3/2）＝3DM/5.
∴GM＝DM－DG＝DM－3DM/5＝2DM/5.
由BD＝DM、DG＝3DM/5、GM＝2DM/5,得：BD∶DG∶GM＝1∶（3/5）∶（2/5）＝5∶3∶2.