求直线a：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线b的方程．

Question

求直线a：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线b的方程．

Answer 1

2x＋11y＋16＝0

由 解得a与l的交点E(3，－2)，E点也在b上．
(解法1)设直线b的斜率为k，又知直线a的斜率为－2，直线l的斜率为－ .
则 ，解得k＝－ .
代入点斜式得直线b的方程为y－(－2)＝－  (x－3)，即2x＋11y＋16＝0.
(解法2)在直线a：2x＋y－4＝0上找一点A(2，0)，设点A关于直线l的对称点B的坐标为(x ₀ ，y ₀ )，
由 解得B .
由两点式得直线b的方程为 ，即2x＋11y＋16＝0.
(解法3)设直线b上的动点P(x，y)关于l：3x＋4y－1＝0的对称点为Q(x ₀ ，y ₀ )，则有
解得x ₀ ＝ ，y ₀ ＝ .
Q(x ₀ ，y ₀ )在直线a：2x＋y－4＝0上，则2× －4＝0，
化简得2x＋11y＋16＝0，即为所求直线b的方程．
(解法4)设直线b上的动点P(x，y)，直线a上的点Q(x ₀ ，4－2x ₀ )，且P、Q两点关于直线l：3x＋4y－1＝0对称，则有
消去x ₀ ，得2x＋11y＋16＝0或2x＋y－4＝0(舍)．