已知平面区域D={（x，y）|0≤x≤π，0≤y≤π}，L为D的正向边界．试证：（1）∮Lxesinydy−ye−sinxdx=∮Lxe−sinydy−yesinxdx；（2）∮Lxesinydy−ye−sinxdx≥2π2．

Question

已知平面区域D={（x，y）|0≤x≤π，0≤y≤π}，L为D的正向边界．试证：
（1）∮Lxesinydy−ye−sinxdx=∮Lxe−sinydy−yesinxdx；
（2）∮Lxesinydy−ye−sinxdx≥2π2．

Answer 1

证明：
（1）由于平面区域D={（x，y）|0≤x≤π，0≤y≤π}，L为D的正向边界，因此
左边=

∫

π 0

πesinydy−

∫

0 π

πe−sinxdx
=π

∫

π 0

(esinx+e−sinx)dx，
右边=

∫

π 0

πe−sinydy−

∫

0 π

πesinxdx
=π

∫

π 0

(esinx+e−sinx)dx，
∴∫Lxesinydy−ye−sinxdx＝∫Lxe−sinydy−yesinxdx．
（2）由于e^sinx+e^-sinx≥2，故由（1）得
∫Lxesinydy−ye−sinxdx＝π

∫

π 0

(esinx+e−sinx)dx≥2π2．