先阅读下列材料，再解答后面的问题．求1+2+22+23+24+…+2100的和．设S=1+2+22+23+24+…+2100．①将①式两边同时乘以2，得：2S=2+22+23+24+25+…+2101．②②-①，得2S-S=2101-1．即S=2101-1所以1+2

Question

先阅读下列材料，再解答后面的问题．
求1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰⁰的和．
设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰⁰．①
将①式两边同时乘以2，得：
2S=2+2²+2³+2⁴+2⁵+…+2¹⁰¹．　　 ②
②-①，得
2S-S=2¹⁰¹-1．
即           S=2¹⁰¹-1
所以1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰⁰=2¹⁰¹-1
问题解答：
（1）猜想1+2+2²+2³+…+2²⁰¹⁶的和，并写出计算过程；
（2）求1+3²+3⁴+3⁶+3⁸+…+3²ⁿ的和（其中n为正整数）；
（3）记S_n=1+3²+3⁴+3⁶+3⁸+…+3²ⁿ（其中n为正整数），试说明：√((8S2n+1)/(9))=(8Sn+1)/(9)．

Answer 1

（1）1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁶=2²⁰¹⁷-1．
设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁶①
将①式两边同时乘以2，得：
2S=2+2²+2³+2⁴+2⁵+…+2²⁰¹⁷②
②-①，得2S-S=2²⁰¹⁷-1．即 S=2²⁰¹⁷-1，
所以1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁶=2²⁰¹⁷-1；

（2）设S=1+3²+3⁴+3⁶+3⁸+…+3²ⁿ①
将①式两边同时乘以3²，得：9S=3²+3⁴+3⁶+3⁸+…+3²ⁿ⁺²②
②-①，得9S-S=3²ⁿ⁺²-1．即S=(32n+2-1)/(8)；
（3）由（2）可得，S_n=(32n+2-1)/(8)，S_2n=(34n+2-1)/(8)，
∴√((8S2n+1)/(9))=√((8×(34n+2-1)/(8)+1)/(9))=√((34n+2)/(9))=(32n+1)/(3)，
(8Sn+1)/(9)=(8×(32n+2-1)/(8)+1)/(9)=(32n+2)/(9)=(32n+1)/(3)，
∴√((8S2n+1)/(9))=(8Sn+1)/(9)．