现有20个质量均匀分布的正方体，每个正方体的边长分别为L、2L、3L、…、19L、20L，将边长为20L的正方体放在水平地面上，然后将边长为19L的正方体放在边长20L的正方体上表面的中央．依次方

Question

现有20个质量均匀分布的正方体，每个正方体的边长分别为L、2L、3L、…、19L、20L，将边长为20L的正方体放在水平地面上，然后将边长为19L的正方体放在边长20L的正方体上表面的中央．依次方法，放置余下的所有正方体．若在任意接触面上的压强均相等，且最上面边长为L的正方体的密度为ρ，则这20个正方体中密度最小的正方体的密度等于

(39)/(8000)

(39)/(8000)

ρ，边长为10L的正方体的密度为

(19)/(1000)

(19)/(1000)

ρ．

Answer 1

由上至下数第n个正方体，边长为nL，设其密度为ρ_n，则由题意知：ρ₁=ρ．
用V_n、m_n、S_n 分别为由上至下数第n个正方体的体积、质量、底面面积，
则：V_n=（nL）³、
M_n=V_nρ_n、
S_n=（nL）²．
所以第n个正方体以上的所有正方体的总质量为：
T_n=M₁+M₂+…+M_n，
这时第n个正方体对下一正方体或地面的接触面上的压强为：
P_n=(G总)/(Sn)=(Tng)/(Sn)．
根据题意在任意接触面上的压强均相等，即P_n为常数，
则对于任意大于1的正整数，都有：P_n=P_n-1，
即：(Tng)/(Sn)=(T(n−1)g)/(S(n−1))，
∴(Tng)/((nL)2)=(T(n−1)g)/((n−1)2L2)，
化简得：T_n=((n)/(n−1))2×T_（n-1），
因此：n=1时，T₁=M₁=V₁ρ₁=L³ρ，
      n=2时，T₂=((2)/(2−1))2×T₁=4L³ρ=2²×L³ρ，
      n=3时，T₃=M₁+M₂+M₃=((3)/(3−1))2×T₂=9L³ρ=3²×L³ρ
…
所以可得出：T_n=n²L³ρ，
于是可得：M_n=T_n-T_（n-1）=（2n-1）L³ρ
所以第n个正方体的密度ρ_n=(Mn)/(Vn)=((2n−1)L3ρ)/((nL)3)．
则由此可知：n越大，ρ_n值越小，
所以n=20时密度最小，密度为ρ₂₀=((2×20−1)L3ρ)/((20L)3)=(39)/(8000)ρ；
边长为10L的正方体的密度为ρ₁₀=((2×10−1)L3ρ)/((10L)3)=(19)/(1000)ρ．
故答案为：(39)/(8000)；(19)/(1000)．