现有20个质量均匀分布的正方体,每个正方体的边长分别为L、2L、3L、.、19L、20L,将边长为20L的正方体放在水平地面上,然后将边长为19L的正方体放在边长为20L的正方体上表面的中央,再将边长为1

Question

现有20个质量均匀分布的正方体,每个正方体的边长分别为L、2L、3L、.、19L、20L,将边长为20L的正方体放在水平地面上,然后将边长为19L的正方体放在边长为20L的正方体上表面的中央,再将边长为18L的正方体放在边长为19L的正方体上表面的中央 .依此方法,放置余下的所有正方体.若在任意接触面上的压强均相等,且最上面边长为L的正方体的密度为ρ,则这20个正方体中密度最小的正方体的密度等于（ ）ρ,边长为10L的正方体的密度为（ ）ρ.

Answer 1

假设最上面的一个正方体质量为M1,每个面的面积为S1,体积为V1
第二个正方体质量为M2,每个面的面积为S2,体积为V2
……
第k个正方体质量为Mk,每个面的面积为Sk,体积为Vk
……
第二十个正方体质量为M20,每个面的面积为S20,体积为V20
则S2=4S1,S3=9S1,……Sk=(K^2)*S1……S20=400S1
V2=8V1,V3=27V1,……Vk=(K^3)*V1……V20=8000V1
因为任意接触面上的压强均相等,所以(M1+M2)*g/S2=M1*g/S1
所以M1+M2=4M1,
M2=(4-1)M1=3M1
同理M3=(9-4)=5M1
……
Mk=[k^2-(k-1)^2]*M1=(2k-1)*M1
……
M20=(20*20-19*19)M1=39M1
M1/V1=ρ
M2/V2=(3M1)/(8V1)=(3/8)ρ
……
Mk/Vk=[(2k-1)M1]/(k^3*V1)=[(2k-1)/k^3]*ρ
……
M10/V10=(19M1)/(1000V1)=(19/1000)ρ
……
M20/V20=(39M1)/(8000V1)=(39/8000)ρ
其中ρ20=(39/8000)ρ最小