1.求证：当n为整数是,形如4n+3的质数有无穷多个.2.设k（k≥3）是给定的正整数,是否存在正整数m,n使得m（m+k）=n(n+1)?3,证明：对任意三角形,一定存在两条边,它们的长u,v满足1≤u／v≤（1＋√5）

Question

1.求证：当n为整数是,形如4n+3的质数有无穷多个.
2.设k（k≥3）是给定的正整数,是否存在正整数m,n使得m（m+k）=n(n+1)?
3,证明：对任意三角形,一定存在两条边,它们的长u,v满足1≤u／v≤（1＋√5）／24.10个学生参加n个课外小组,每一个小至多5个人,每两个学生至少参加某一个小组,任意两个课外小组,至少可以找到两个学生,他们都不在这两个课外小组中,求n的最小值.
还有一个!
在三角形ABC中是否存在一个点P,使得过P的任意一直线多将该三角形分成三角形分成等面积的两部分?为什么?
那个,各位可不可以写得详细一点,我很笨的,一点点的提示对我没什么作用,呵呵!

Answer 1

这题目都不太难,可是要做也真要花些时间.
第一题：
证明：假设只有有限多个 4n+3 型的质数, 它们分别是 P(1), P(2), ..., P(k).
令 Q=P(1)^2P(2)^2...P(k)^2+2,
首先, P(1)^2, P(2)^2 等等都是 4n+1 型的数,所以 Q 是 4n+3 型的数. Q 只能有 4n+1 型和 4n+3 型的素因数,而且至少有一个4n+3 型的素因数R, 因为 若干4n+1 的数的乘积仍然是 4n+1 型, 不可能等于 Q. 其次, 因为 Q 除以 P(1), P(2), ..., P(k) 的余数都是 2, R 不可能是 P(1), ..., P(k) 中任何一个.我们找出了一个新的 4n+3 型质数, 与假设矛盾.