已知一次函数y=-2x+2与x轴、y轴分别交于A、B点，以AB为边在第一象限内作直角△ABC，△ABC∽△OAB．（1）求点C的坐标；（2）一个反比例函数的图象经过不同的点C和点P，问：在第一象限

Question

已知一次函数y=-2x+2与x轴、y轴分别交于A、B点，以AB为边在第一象限内作直角△ABC，△ABC ∽ △OAB．
（1）求点C的坐标；
（2）一个反比例函数的图象经过不同的点C和点P，问：在第一象限内，是否存在点P（记点P的横坐标为m）使得△PAB的面积等于△ABC的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）当x=0时，y=2，则点B（0，2）；
当y=0时，解得x=1，则点A（1，0）
∵在直角△ABC中，AO=1，BO=2，∴AB=

AO 2 + BO 2

=

5

，
∵△ABC ∽ △OAB，∴ (BC)/(AB) = (AC)/(OB) = (AB)/(OA) =

5

，
解得AC=2

5

，BC=5，
∵△ABC ∽ △OAB，∴∠ABC=∠BAO，
∴∠OBC=∠OBA+∠ABC=∠OBA+∠BAO=90°，
∴点C（5，2）；
（2）存在
∵由（1）可知AB=

5

，AC=2

5

，
∴△ABC的面积= (1)/(2) AB•AC=5
设这个反比例函数关系式为 y=(k)/(x) (k≠0) ．
∵反比例函数的图象经过点C（5，2），∴k=10，
∴y= (10)/(x) ．
∵点P是反比例函数y= (10)/(x) 图象上，且在第一象限内的点，
∴可设点P的坐标为（m， (10)/(m) ），m＞0且m≠5（5分）
设直线CP的解析式为y=kx+b，∵C（5，2），P（m， (10)/(m) ），
∴

5k+b=2

mk+b=(10)/(m) .

解得

k=-(2)/(m)

b=(2m+10)/(m) .

∴ y=-(2)/(m) x+(2m+10)/(m) （m＞0且m≠5）．
当x=0时， y=(2m+10)/(m) ，当y=0时，x=5+m．
设直线CP与x轴、y轴分别交于D、E点，则OD=5+m，OE= (2m+10)/(m)
∵S _△PAB =S _△DOE -S _△PBE -S _△AOB -S _△PAD
= (1)/(2) （5+m） (2m+10)/(m) - (1)/(2) •m• (10)/(m) - (1)/(2) ×1×2- (1)/(2) （4+m）• (10)/(m)
=m+ (5)/(m) -1
=5
∴解得m=1或m=5
∵m＞0，且m≠5
∴m=1
∴点P的坐标为（1，10）