已知函数f（x）=x2+bx+c（b、c∈R）且当x≤1时，f（x）≥0，当1≤x≤3时，f（x）≤0恒成立．（1）求b、c之间的关系式；（2）当c≥3时，是否存在实数m使得g（x）=f（x）-m2x在区间（0，+∞）上是

Question

已知函数f（x）=x²+bx+c（b、c∈R）且当x≤1时，f（x）≥0，当1≤x≤3时，f（x）≤0恒成立．
（1）求b、c之间的关系式；
（2）当c≥3时，是否存在实数m使得g（x）=f（x）-m²x在区间（0，+∞）上是单调函数？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由已知f（1）≥0与f（1）≤0同时成立，则必有f（1）=0，故b+c+1=0．
（2）假设存在实数m，使满足题设的g（x）存在．
∵g（x）=f（x）-m²x=x²+（b-m²）x+c开口向上，且在[(m2−b)/(2)，+∞）上单调递增，
∴(m2−b)/(2)≤0．∴b≥m²≥0．
∵c≥3，∴b=-（c+1）≤-4．
这与上式矛盾，从而能满足题设的实数m不存在．