（2014•黄冈）如图，已知双曲线y=-1x与两直线y=-14x，y=-kx（k＞0，且k≠14）分别相交于A、B、C、D四点．（1）当点C的坐标为（-1，1）时，A、B、D三点坐标分别是A（，1212），B（，-12-12

Question

（2014•黄冈）如图，已知双曲线y=-(1)/(x)与两直线y=-(1)/(4)x，y=-kx（k＞0，且k≠(1)/(4)）分别相交于A、B、C、D四点．
（1）当点C的坐标为（-1，1）时，A、B、D三点坐标分别是A（______，

(1)/(2)

(1)/(2)

），B（______，

-(1)/(2)

-(1)/(2)

），D（______，______）．
（2）证明：以点A、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形．
（3）当k为何值时，▱ADBC是矩形．

Answer 1

（1）∵C（-1，1），C，D为双曲线y=-(1)/(x)与直线y=-kx的两个交点，且双曲线y=-(1)/(x)为中心对称图形，
∴D（1，-1），
联立得：

y＝−(1)/(x)

y＝−(1)/(4)x

，
消去y得：-(1)/(4)x=-(1)/(x)，即x²=4，
解得：x=2或x=-2，
当x=2时，y=-(1)/(2)；当x=-2时，y=(1)/(2)，
∴A（-2，(1)/(2)），B（2，-(1)/(2)）；
故答案为：-2，(1)/(2)，2，-(1)/(2)，1，-1；

（2）∵双曲线y=-(1)/(x)为中心对称图形，且双曲线y=-(1)/(x)与两直线y=-(1)/(4)x，y=-kx（k＞0，且k≠(1)/(4)）分别相交于A、B、C、D四点，
∴OA=OB，OC=OD，
则以点A、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形；

（3）若▱ADBC是矩形，可得AB=CD，
联立得：

y＝−(1)/(x)

y＝−kx

，
消去y得：-(1)/(x)=-kx，即x²=(1)/(k)，
解得：x=√((1)/(k))或x=-√((1)/(k))，
当x=√((1)/(k))时，y=-√(k)；当x=-√((1)/(k))时，y=√(k)，
∴C（-√((1)/(k))，√(k)），D（√((1)/(k))，-√(k)），
∴CD=√((−√((1)/(k))−√((1)/(k)))2+(√(k)+√(k))2)=AB=√((−2−2)2+((1)/(2)+(1)/(2))2)=√(17)，
整理得：（4k-1）（k-4）=0，
k₁=(1)/(4)，k₂=4，
又∵k≠(1)/(4)，∴k=4，
则当k=4时，▱ADBC是矩形．