F是椭圆x²/16+y²/12=1的右焦点,M是椭圆上的动点,已知点A（-2,3）,当│AM│+2│MF│取最小值时,求点M的坐标

Question

F是椭圆x²/16+y²/12=1的右焦点,M是椭圆上的动点,已知点A（-2,3）,当│AM│+2│MF│取
最小值时,求点M的坐标

Answer 1

a=4,c=2,离心率e=1/2,右准线为x=8
设点M到右准线的距离为MN,
由第二定义：椭圆上的点到焦点的距离与到相应准线的距离之比=离心率e；
所以：MF/MN=e=1/2
则：MN=2MF
所以,AM+2MF=AM+MN
要使AM+MN取最小值,显然是A,M,N三点共线,
即过点A作AN垂直于准线x=8,与椭圆的焦点就是最小值时的点M；
A(-2,3),则点M的纵坐标为3,
把y=3代入椭圆方程,得：x=±2；
显然x取2,
所以,点M的坐标为(2,3)
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