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如图所示,在矩形ABCD中,AD=10,DC=8,点E为AB边上一点,△BCE沿EC所在直线翻折,使得B点刚好落在AD边上F处.(1)求EF的长度;(2)若一点P从E出发沿E→B→C以每秒一个单位的速度向C运动,
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如图所示,在矩形ABCD中,AD=10,DC=8,点E为AB边上一点,△BCE沿EC所在直线翻折,使得B点刚好落在AD边上F处.
(1)求EF的长度;
(2)若一点P从E出发沿E→B→C以每秒一个单位的速度向C运动,另一点Q从B出发沿B→C→F→D以每秒1个单位的速度向D运动,当其中一点到达终点时运动终止,设运动时间为t(t>0),点E,P,Q围成的三角形面积为S.求出在整个过程中S与t的函数关系式?
(3)在(2)的运动过程中,是否存在某个时刻t,使得△CPQ为等腰三角形?若存在,请直接写出t的值;若不存在,请说明理由.
(1)求EF的长度;
(2)若一点P从E出发沿E→B→C以每秒一个单位的速度向C运动,另一点Q从B出发沿B→C→F→D以每秒1个单位的速度向D运动,当其中一点到达终点时运动终止,设运动时间为t(t>0),点E,P,Q围成的三角形面积为S.求出在整个过程中S与t的函数关系式?
(3)在(2)的运动过程中,是否存在某个时刻t,使得△CPQ为等腰三角形?若存在,请直接写出t的值;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=∠D=90°,AD=BC=10,CD=AB=8,
∵△BCE沿EC所在直线翻折,使得B点刚好落在AD边上F处,
∴CF=BC=10,EF=BE,
∵DC=8,在Rt△CDF中,由勾股定理得:DF=
=6,
∴AF=10-6=4,
设EF=BE=x,
则在Rt△AEF中,由勾股定理得:(8-x)2+42=x2,
解得:x=5,
即EF=5;
(2)分为三种情况:①当P在AB上,Q在BC上时,
此时0<t<5,
∵BQ=EP=t,
∴S=
EP×BQ=
t2;
②当P在BC上,Q在BC上时,
此时5≤t≤10,
S=
PQ×BE
=
×5×5=22.5;
③当P在BC上,Q在CF上时,
此时10<t≤15,
过Q作QM⊥BC于M,过P作PN⊥BC于N,
则QM∥PN,
∴△CQM∽△CPN,
∴
=
,
∴
=
,
∴QM=
(t-10)
S=S四边形BEFC-S△BEP-S△QPC-S△PEQ
=2×
×5×10-
×5×(t-5)-
•(15-t)•
(t-10)-
×5×(20-t)
=
t2-10t+
;
(3)分为三种情况:①如图1,当P在AB上,Q在BC上,此时0<t<5,
此时∠PQC>90°,
若△CPQ是等腰三角形,只能PQ=CQ,
即(5-t)2+t2=PQ2=CQ2=(10-t)2,
解得:t1=5(舍去),t2=-15(舍去);
②当P在BC上,Q在BC上时,如图2,
此时5≤t≤10,此时不存在三角形CPQ;
③当P在BC上,Q在CF上时,如图3,
此时10<t≤15,
(i)CP=CQ,
则15-t=t-10,
解得:t=12.5;
(ii)QP=CQ,
则CM=PM,
∵CQ=t-10,QM=
(t-10),则CM=
t,
∴
∴∠A=∠B=∠D=90°,AD=BC=10,CD=AB=8,
∵△BCE沿EC所在直线翻折,使得B点刚好落在AD边上F处,
∴CF=BC=10,EF=BE,
∵DC=8,在Rt△CDF中,由勾股定理得:DF=
102−82 |
∴AF=10-6=4,
设EF=BE=x,
则在Rt△AEF中,由勾股定理得:(8-x)2+42=x2,
解得:x=5,
即EF=5;
(2)分为三种情况:①当P在AB上,Q在BC上时,
此时0<t<5,
∵BQ=EP=t,
∴S=
1 |
2 |
1 |
2 |
②当P在BC上,Q在BC上时,
此时5≤t≤10,
S=
1 |
2 |
=
1 |
2 |
③当P在BC上,Q在CF上时,
此时10<t≤15,
过Q作QM⊥BC于M,过P作PN⊥BC于N,
则QM∥PN,
∴△CQM∽△CPN,
∴
CF |
CQ |
QM |
PN |
∴
10 |
t−10 |
8 |
QM |
∴QM=
4 |
5 |
S=S四边形BEFC-S△BEP-S△QPC-S△PEQ
=2×
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
4 |
5 |
1 |
2 |
=
2 |
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(3)分为三种情况:①如图1,当P在AB上,Q在BC上,此时0<t<5,
此时∠PQC>90°,
若△CPQ是等腰三角形,只能PQ=CQ,
即(5-t)2+t2=PQ2=CQ2=(10-t)2,
解得:t1=5(舍去),t2=-15(舍去);
②当P在BC上,Q在BC上时,如图2,
此时5≤t≤10,此时不存在三角形CPQ;
③当P在BC上,Q在CF上时,如图3,
此时10<t≤15,
(i)CP=CQ,
则15-t=t-10,
解得:t=12.5;
(ii)QP=CQ,
则CM=PM,
∵CQ=t-10,QM=
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