求出特征向量a123.用X=[a1,a2,a3]Y就能化二次型为标准型了,为什么还要正交变换为r123和相似对角化一样,既能用正交矩阵又能用可逆矩阵,正交矩阵多了一步规范正交化,但都得到相似对角矩阵,既

Question

求出特征向量a123.用X=[a1,a2,a3]Y就能化二次型为标准型了,为什么还要正交变换为r123
和相似对角化一样,既能用正交矩阵又能用可逆矩阵,正交矩阵多了一步规范正交化,但都得到相似对角矩阵,既然结果一样,那用正交矩阵法有什么意义呢?

Answer 1

之所以用正交矩阵,是因为实对称矩阵化成对角矩阵时特征向量组成的就是正交矩阵.
二次型矩阵就是实对称矩阵,所以用正交矩阵来进行相似对角化.
X=CY (CY)^TA(CY)=Y^T(C^TAC)Y=Y^TdiagY 这就是标准型了
你问的关键问题是C为什么要单位化,因为正交矩阵的定义：
如果：AA'=E（E为单位矩阵,A'表示“矩阵A的转置矩阵”.）或A′A=E,则n阶实矩阵 A称为正交矩阵,若A为正交阵,则满足以下条件:
1) A 是正交矩阵
2) AA′=E（E为单位矩阵）
3) A′是正交矩阵
4) A的各行是单位向量且两两正交
5) A的各列是单位向量且两两正交
6) (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R
请注意第4,5两条性质.