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定义在R上的函数f（x），对任意x均有f （x）=f（x+2）+f （x-2）且f（2013）=2013，则f（2025）=______．
题目详情
定义在R上的函数f（x），对任意x均有f （x）=f（x+2）+f （x-2）且f（2013）=2013，则f（2025）=______．
▼优质解答
答案和解析
∵定义在R上的函数f（x），对任意x均有f （x）=f（x+2）+f （x-2），①
∴f（x+2）=f（x+4）+f（x），②
由①②，可得f（x-2）=-f（x+4），即f（x）=-f（x+6），
∴f（x+12）=f（x），
∴函数f（x）为周期函数，周期为T=12，
∵f（2013）=2013，
∴f（2025）=f（2025-12）=f（2013）=2013．
故答案为：2013．
∴f（x+2）=f（x+4）+f（x），②
由①②，可得f（x-2）=-f（x+4），即f（x）=-f（x+6），
∴f（x+12）=f（x），
∴函数f（x）为周期函数，周期为T=12，
∵f（2013）=2013，
∴f（2025）=f（2025-12）=f（2013）=2013．
故答案为：2013．
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