如图，已知三棱柱A1B1C1—ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB、AC均成45°角，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥CC1于F.(1)求点A到平面B1BCC1的距离；(2)

Question

如图，已知三棱柱 A ₁ B ₁ C ₁ — ABC 的底面是边长为2的正三角形，侧棱 A ₁ A 与 AB 、 AC 均成45°角，且 A ₁ E ⊥ B ₁ B 于 E ， A ₁ F ⊥ CC ₁ 于 F .
(1)求点 A 到平面 B ₁ BCC ₁ 的距离；
(2)当 AA ₁ 多长时，点 A ₁ 到平面 ABC 与平面 B ₁ BCC ₁ 的距离相等.

Answer 1

(1)所求距离为2     (2)当 AA ₁ = 时满足条件.

(1)∵ BB ₁ ⊥ A ₁ E ， CC ₁ ⊥ A ₁ F ， BB ₁ ∥ CC ₁
∴ BB ₁ ⊥平面 A ₁ EF
即面 A ₁ EF ⊥面 BB ₁ C ₁ C
在Rt△ A ₁ EB ₁ 中，
∵∠ A ₁ B ₁ E =45°， A ₁ B ₁ = a
∴ A ₁ E = a ,同理 A ₁ F = a ,又 EF = a ，∴ A ₁ E = a
同理 A ₁ F = a ,又 EF = a
∴△ EA ₁ F 为等腰直角三角形，∠ EA ₁ F =90°
过 A ₁ 作 A ₁ N ⊥ EF ，则 N 为 EF 中点，且 A ₁ N ⊥平面 BCC ₁ B ₁
即 A ₁ N 为点 A ₁ 到平面 BCC ₁ B ₁ 的距离
∴ A ₁ N =
又∵ AA ₁ ∥面 BCC ₁ B ， A 到平面 BCC ₁ B ₁ 的距离为
∴ a =2，∴所求距离为2
(2)设 BC 、 B ₁ C ₁ 的中点分别为 D 、 D ₁ ，连结 AD 、 DD ₁ 和 A ₁ D ₁ ，则 DD ₁ 必过点 N ，易证 ADD ₁ A ₁ 为平行四边形.
∵ B ₁ C ₁ ⊥ D ₁ D , B ₁ C ₁ ⊥ A ₁ N
∴ B ₁ C ₁ ⊥平面 ADD ₁ A ₁
∴ BC ⊥平面 ADD ₁ A ₁
得平面 ABC ⊥平面 ADD ₁ A ₁ ，过 A ₁ 作 A ₁ M ⊥平面 ABC ，交 AD 于 M ，
若 A ₁ M = A ₁ N ，又∠ A ₁ AM =∠ A ₁ D ₁ N ，∠ AMA ₁ =∠ A ₁ ND ₁ =90°
∴△ AMA ₁ ≌△ A ₁ ND ₁ ,∴ AA ₁ = A ₁ D ₁ = ,即当 AA ₁ = 时满足条件.