已知二次型f（x1，x2，x3）=x12+2x22+3x32-4x1x2-4x2x3，试写出二次型的矩阵，并用正交变换法化二次型为标准型．

Question

已知二次型f（x₁，x₂，x₃）=x₁²+2x₂²+3x₃²-4x₁x₂-4x₂x₃，试写出二次型的矩阵，并用正交变换法化二次型为标准型．

Answer 1

由题意，二次型矩阵A＝

1	−2	0
−2	2	−2
0	−2	3

∴①特征值：
A的特征多项式为：|λE−A|＝

.

λ−1	2	0
2	λ−2	2
0	2	λ−3

.

=（λ+1）（λ-2）（λ+5）=0
因而，得到特征值为λ=-1，2，5，
②特征向量：
当λ=-1时，（λE-A）x=0的基础解系为：ξ1＝(2，2，1)T；
当λ=2时，（λE-A）x=0的基础解系为：ξ2＝(−2，1，2)T；
当λ=5时，（λE-A）x=0的基础解系为：ξ3＝(2，−1，1)T；
即特征向量为：ξ1＝(2，2，1)T、ξ2＝(−2，1，2)T、ξ3＝(2，−1，1)T
③将特征向量正交化：
取取α₁=ξ₁，α₂=ξ₂，α3＝ξ3−([α2，ξ3])/([α2，α2])α2=ξ₃+ξ₂，得正交向量组：
α1＝(2，2，1)T、α2＝(−2，1，2)T、α3＝(0，0，3)T

作业帮用户 2017-11-01 举报