用正交变换,将二次型F=3x1+4x2^2+5x3^2+4x1x2-4x2x3化标准型具体步骤希望知道,每一步的具体步骤尤其是进行初等变换和求基础解析的那里

Question

用正交变换,将二次型F=3x1+4x2^2+5x3^2+4x1x2-4x2x3化标准型具体步骤希望知道,每一步的具体步骤
尤其是进行初等变换和求基础解析的那里

Answer 1

二次型的矩阵A=
3 2 0
2 4 -2
0 -2 5
|A-λE|=
3-λ 2 0
2 4-λ -2
0 -2 5-λ
c3-2c1+2c2
3-λ 2 -2(1-λ)
2 4-λ 2(1-λ)
0 -2 1-λ
r1+2r3,r2-2r3
3-λ -2 0
2 8-λ 0
0 -2 1-λ
= (1-λ)[(3-λ)(8-λ)+4]
= (1-λ)(λ^2-11λ+28)
= (1-λ)(4-λ)(7-λ).
A 的特征值为 1,4,7
A-E=
2 2 0
2 3 -2
0 -2 4
-->
1 0 2
0 1 -2
0 0 0
a1=(-2,2,1)^T
A-4E=
-1 2 0
2 1 -2
0 -2 2
-->
1 0 -1
0 1 -1/2
0 0 0
a2=(2,1,2)^T
A-7E=
-4 2 0
2 -3 -2
0 -2 -2
-->
1 0 1/2
0 1 1
0 0 0
a3=(1,2,-2)^T
令P=(1/3)*
-2 2 1
2 1 2
1 2 -2
则 X=PY 是正交变换,且 f=y1^2+4y2^2+7y3^2
每一步都详细太麻烦了,哪一步不明白你追问吧