已知如图，在△ABC中，∠B=60°，AD、CE是△ABC的角平分线，并且它们交于点O，（1）求：∠AOC的度数；（2）求证：AC=AE+CD．

Question

已知如图，在△ABC中，∠B=60°，AD、CE是△ABC的角平分线，并且它们交于点O，
（1）求：∠AOC的度数；
（2）求证：AC=AE+CD．

Answer 1

（1）∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵AD、CE是△ABC的角平分线，
∴∠OAC+∠OCA=(1)/(2)（∠BAC+∠ACB）=(1)/(2)×120°=60°，
在△AOC中，∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-60°=120°；

（2）证明：如图，在AC上截取AF=AE，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠OAE=∠OAF，
在△AOE和△AOF中，

AE＝AF

∠OAE＝∠OAF

AO＝AO

，
∴△AOE≌△AOF（SAS），
∴∠AOF=∠AOE，
∵∠AOE=180°-∠AOC=180°-120°=60°，
∴∠AOF=60°，
∵∠COF=∠AOC-∠AOF=120°-60°=60°，
∠COD=∠AOE=60°，
∴∠COD=∠COF，
∵CE是△ABC的平分线，
∴∠OCD=∠OCF，
在△COD和△COF中，

∠COD＝∠COF

CO＝CO

∠OCD＝∠OCF

，
∴△COD≌△COF（ASA），
∴CF=CD，
∵AC=AF+CF，
∴AC=AE+CD．