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线性代数实对称矩阵A是正定的与A的伴随矩阵是正定的是等价关系吗?
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线性代数 实对称矩阵A是正定的 与 A的伴随矩阵是正定的 是等价关系吗?
▼优质解答
答案和解析
是等价的.事实上
若A正定当且仅当A的特征值都大于0,故|A|大于0,
从而A可逆,且A^-1的特征值为A的特征值的倒数,
故A^-1的特征值也都大于0,
所以A^-1正定.
而A*={A}A^-1,其特征值是|A|乘以A^-1的特征值,也都大于0,
故A*也正定.
若A正定当且仅当A的特征值都大于0,故|A|大于0,
从而A可逆,且A^-1的特征值为A的特征值的倒数,
故A^-1的特征值也都大于0,
所以A^-1正定.
而A*={A}A^-1,其特征值是|A|乘以A^-1的特征值,也都大于0,
故A*也正定.
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