正定矩阵一个矩阵乘以它的转置一定正定吗?如果不是,那要满足什么条件才成立?如果这个矩阵是一系列初等列矩阵的乘积成立吗?麻烦证明一下.

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正定矩阵
一个矩阵乘以它的转置一定正定吗?如果不是,那要满足什么条件才成立?如果这个矩阵是一系列初等列矩阵的乘积成立吗?麻烦证明一下.

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答案和解析

首先要限定是实矩阵,否则例如A =
i 0
0 i
与其转置之积为负定矩阵.
对实矩阵A,可以证明A'A至少是半正定的.
对任意实向量X,X'(A'A)X = (AX)'(AX) ≥ 0.
而A'A正定当且仅当A可逆(此时A'A可逆半正定故正定).
初等矩阵都是可逆矩阵,其乘积仍可逆.
故此时可以保证正定.

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