实对称矩阵A的阶数为偶数,且满足A^3+6A^2+11A+6E=O,求证A*（A的伴随矩阵）是负定矩阵.

Question

实对称矩阵A的阶数为偶数,且满足A^3+6A^2+11A+6E=O,求证A*（A的伴随矩阵）是负定矩阵.

Answer 1

由于 A^3+6A^2+11A+6E=0
即 (A + 3)(A + 2)(A + 1)=0
所以A的特征值只能是 -1,-2,-3
而|A|等于A的全部特征值的乘积
所|A|等于n(偶数)个特征值的乘积
所以 |A|>0
而A*的特征值为 |A|/λ
所以A*的特征值都小于0
所以A*是负定矩阵.