已知直线l:y=mx+1与曲线C:ax2+y2=2(m、a∈R)交于A、B两点,O为坐标原点.是否存在常数m,对于任意a∈R*,都有向量OA*向量OB为常数?很多类似题目,这题稍有不同,不要黏贴其他无关答案谢谢.

Question

已知直线l:y=mx+1与曲线C:ax2+y2=2(m、a∈R)交于A、B两点,O为坐标原点.是否存在常数m,对于任意a∈R*,都有
向量OA*向量OB为常数?很多类似题目,这题稍有不同,不要黏贴其他无关答案谢谢.

Answer 1

解题如下：
联立两方程得到：
(a+m^2)x^2+2mx-1=0
x1+x2=-2m/(a+m^2)
x1*x2=-1/(a+m^2)
y1*y2=(mx1+1)(mx2+1)=m^2*x1*x2+m(x1+x2)+1
OA*OB=x1*x2+y1*y2=-2+(3a-1)/(m^2+a)=C
故3a-1=b(m^2+a)
解得 b=3,3m^2=-1,
所以无此实数m,使得条件成立!