设关于x的函数f（x）=mx2-（2m2+4m+1）x+（m+2）lnx，其中m为R上的常数，若函数f（x）在x=1处取得极大值0．（1）求实数m的值；（2）若函数f（x）的图象与直线y=k有两个交点，求实数k的取值范围

Question

设关于x的函数f（x）=mx²-（2m²+4m+1）x+（m+2）lnx，其中m为R上的常数，若函数f（x）在x=1处取得极大值0．
（1）求实数m的值；
（2）若函数f（x）的图象与直线y=k有两个交点，求实数k的取值范围；
（3）设函数g(x)＝(p−2)x+(p+2)/(x)，若对任意的x∈[1，2]，2f（x）≥g（x）+4x-2x²恒成立，求实数p的取值范围．

Answer 1

（1）f′(x)＝2mx−(2m2+4m+1)+(m+2)/(x)=((2mx−1)[x−(m+2)])/(x)
因为函数f（x）在x=1处取得极大值0
所以，

f′(1)＝2m−(2m2+4m+1)+m+2＝−2m2−m+1＝0

f(1)＝m−(2m2+4m+1)＝−2m2−3m−1＝0

解m=-1
（2）由（1）知f′(x)＝((−2x−1)(x−1))/(x)，令f'（x）=0得x=1或x＝−(1)/(2)（舍去）
所以函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
所以，当x=1时，函数f（x）取得最大值，f（1）=ln1-1+1=0
当x≠1时，f（x）＜f（1），即f（x）＜0
所以，当k＜0时，函数f（x）的图象与直线y=k有两个交点，
（3）设F(x)＝2f(x)−g(x)−4x+2x2＝2lnx−px−(p+2)/(x)F′(x)＝(2)/(x)−p+(p+2)/(x2)＝(−px2+2x+(p+2))/(x2)
当p=0时，F′(x)＝(2x+2)/(x2)＞0，F（x）在[1，2]递增，F（1）=-2＜0不成立，（舍）
当p≠0时F′(x)＝(−p(x+1)(x−(p+2)/(p)))/(x2)
当1+(2)/(p)＜−1，即-1＜p＜0时，F（x）在[1，2]递增，F（1）=-2p-2＜0，不成立
当−1＜1+(2)/(p)≤1，即p＜-1时，F（x）在[1，2]递增，所以F（1）=-2p-2≥0，解得p≤-1，所以，此时p＜-1
当p=-1时，F（x）在[1，2]递增，成立；
当p＞0时，F（1）=-2p-2＜0不成立，
综上，p≤-1