已知函数f（x）=asinx+cosx，a为是常数，x∈R．（1）请指出函数f（x）的奇偶性，并给予证明；（2）当a=3，x∈[0，π2]时，求f（x）的取值范围．

Question

已知函数f（x）=asinx+cosx，a为是常数，x∈R．
（1）请指出函数f（x）的奇偶性，并给予证明；
（2）当a=√(3)，x∈[0，(π)/(2)]时，求f（x）的取值范围．

Answer 1

（1）f（-x）=-asinx+cosx=f（x）
即-asinx+cosx=asinx+cosx，
∴2asinx=0，
∴a=0，
∴当a=0时，f（x）是偶函数． 
由f（-x）=-f（x）
∴-asinx+cosx=-asinx-cosx，
∴2cosx=0，
仅对x-kπ+(π)/(2)，k∈Z成立，
∴f（x）是不是奇函数．
综上：当a=0时，f（x）是偶函数；当a≠0时，f（x）是非奇非偶函数．
（2）当a＝√(3)时，f(x)＝√(3)sinx+cosx＝2sin(x+(π)/(6))，
由x∈[0，(π)/(2)]，得(π)/(6)≤x+(π)/(6)≤(2π)/(3)，(1)/(2)≤sin(x+(π)/(6))≤1．
∴f（x）∈[1，2]．