（2013•南开区一模）已知函数f（x）=ax+blnx+c（a，b，c为常数且a，b，c∈Q）在x=e处的切线方程为（e-1）x+ey-e=0．（I）求常数a，b，c的值；（Ⅱ）若函数g（x）=x2+mf（x）（m∈R）在区间（1，3）

Question

（2013•南开区一模）已知函数f（x）=ax+blnx+c（a，b，c为常数且a，b，c∈Q）在x=e处的切线方程为（e-1）x+ey-e=0．
（I）求常数a，b，c的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=x²+mf（x）（m∈R）在区间（1，3）内不是单调函数，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）求函数h（x）=f（x）-1的单调递减区间，并证明：(ln2)/(2)×(ln3)/(3)×(ln4)/(4)×…(lnn)/(n)＜(1)/(n)．

Answer 1

（I）由f（x）=ax+blnx+c知，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=a+bx，又f（x）在x=e处的切线方程为（e-1）x+ey-e=0，而切线（e-1）x+ey-e=0的斜率为-e−1e，所以有f′（e）=a+be=-e−1e，即（b-1）+（a+1）e=0...