已知函数f(x)＝ln(1+x)+ax，a∈R是常数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）求a＝−12时，f（x）零点的个数；③求证：(1+122)(1+124)•…•(1+122n)＜e（n∈N*，e为自然对数的底数）．

Question

已知函数f(x)＝ln(1+x)+a√(x)，a∈R是常数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）求a＝−(1)/(2)时，f（x）零点的个数；
③求证：(1+(1)/(22))(1+(1)/(24))•…•(1+(1)/(22n))＜e（n∈N^*，e为自然对数的底数）．

Answer 1

（1）f′(x)＝(1)/(1+x)+(a)/(2√(x))＝(ax+2√(x)+a)/(2√(x)(1+x))，
若a≥0，则f′（x）＞0，f（x）在定义域内单调递增；若a≤-1，
则f′（x）＜0，f（x）在定义域内单调递减；若-1＜a＜0，由f′（x）=0
解得，x1＝(2−a2−2√(1−a2))/(a2)，x2＝(2−a2+2√(1−a2))/(a2)，
直接讨论f′（x）知，f（x）在[0，(2−a2−2√(1−a2))/(a2))
和((2−a2+2√(1−a2))/(a2)，+∞)单调递减，
在[(2−a2−2√(1−a2))/(a2)，(2−a2+2√(1−a2))/(a2)]单调递增．
（2）观察得f（0）=0，a＝−(1)/(2)时，
由①得f（x）在[0，7−4√(3))单调递减，
所以f（x）在[0，7−4√(3))上有且只有一个零点；
f(x1)＝f(7−4√(3))＜f(0)＝0，
计算得f(x2)＝f(7+4√(3))＝ln(8+4√(3))−(1)/(2)(2+√(3))＞lne2−2＝0，
f（x₁）f（x₂）＜0且f（x）在区间[7−4√(3)，7+4√(3)]单调递增，
所以f（x）在[7−4√(3)，7+4√(3)]上有且只有一个零点；
根据对数函数与幂函数单调性比较知，
存在充分大的M∈R，使f（M）＜0，f（x₂）f（M）＜0
且f（x）在区(7+4√(3)，+∞)单调递减，
所以f（x）在(7+4√(3)，7M)上
从而在(7+4√(3)，+∞)上有且只有一个零点．
综上所述，a＝−(1)/(2)时，f（x）有3个零点．
（3）取a=-1，f(x)＝ln(1+x)−√(x)，
由①得f（x）单调递减，
所以∀x＞0，f（x）＜f（0）=0，ln(1+x)＜√(x)，
从而ln（1+(1)/(22)）（1+(1)/(24)）…（1+(1)/(22n)）
=ln（1+(1)/(22)）ln（1+(1)/(24)）+…（1+(1)/(22n)）
＜(1)/(2)+(1)/(22)+…+(1)/(2n)＝1−(1)/(2n)＜1，
由lnx单调递增得(1+(1)/(22))(1+(1)/(24))••(1+(1)/(22n))＜e．