观察与思考:如图,已知圆O与直线AB切于点A时的半径为R(常数)

Question

观察与思考:如图,已知圆O与直线AB切于点A时的半径为R(常数)

Answer 1

【思路分析】
（1）由于⊙O的半径为R,沿着直线滚动一周,则圆心移动的距离等于圆的周长,然后利用圆的周长公式计算即可．
(2)根据直线与圆相切的性质得到圆从一边转到另一边时,圆心要绕其顶点旋转,则圆绕所有的顶点共旋转了360°,即它转了一圈,再加上在三边作无滑动滚动时要转n圈,这样得到它回到原出发位置时共转了(n+1)圈,即可求出.
【解析过程】
∵半径为R的⊙O沿着直线滚动一周,
∴圆心移动的距离等于圆的周长,即2πR,
如图②,圆在AC、CB、BA三边作无滑动滚动时,
∵等边三角形的边长与圆的周长相等,
∴圆转了3圈,
而圆从一边转到另一边时,圆心绕三角形的一个顶点旋转了三角形的一个外角的度数,
圆心要绕其三角形的顶点旋转120°,
∴圆绕三个顶点共旋转了360°,即它转了一圈,
∴圆回到初始位置时,共转了4圈．
∴圆心移动的距离等于圆的周长的4倍,即8πR,
如图③,圆在正方形四边上作无滑动滚动时,
∵正方形的边长与圆的周长相等,
∴圆转了4圈,
而圆从一边转到另一边时,圆心绕正方形的一个顶点旋转了正方形的一个外角的度数,
圆心要绕其正方形的顶点旋转90°,
∴圆绕四个顶点共旋转了360°,即它转了一圈,
∴圆回到初始位置时,共转了5圈．
∴圆心移动的距离等于圆的周长的5倍,即10πR,
（3）圆在正n边形n条边上作无滑动滚动时,
∵正n边形的边长与圆的周长相等,
∴圆转了n圈,
而圆从一边转到另一边时,圆心绕正n边形的一个顶点旋转了正n边形的一个外角的度数,
圆心要绕其正n边形的顶点旋转,
∴圆绕n个顶点共旋转了360°,即它转了一圈,
∴圆回到初始位置时,共转了（n+1）圈．
∴圆心移动的距离等于圆的周长的（n+1）倍,即2（n+1）πR,
【答案】
（1）2πR；（2）8πR,10πR；（3）2（n+1）πR
【总结】
本题考查了直线与圆的位置关系,弧长公式：l=（n为圆心角,R为半径）；也考查了旋转的性质．