如图，在半径为常数r，圆心角为2θ（0<2θ<π）的扇形OAB内作一内切圆P，再在扇形内作一个与扇形两条半径相切并与圆P外切的小圆Q．（1）当2θ=π3时，求圆Q的半径；（2）当θ为变量时，

Question

如图，在半径为常数r，圆心角为2θ（0<2θ<π）的扇形OAB内作一内切圆P，再在扇形内作一个与扇形两条半径相切并与圆P外切的小圆Q．

（1）当2θ=(π)/(3)时，求圆Q的半径；
（2）当θ为变量时，求圆Q的半径的最大值．

Answer 1

（1）设圆P的半径为x，圆Q的半径为y，
圆P切OA于E，连结PE，当2θ=(π)/(3)时，
则sin(π)/(6)=(1)/(2)=(x)/(r-x)，
∴x=(1)/(3)r．
同理，得sin(π)/(6)=(1)/(2)=(y)/(r-2x-y)，解得：y=(r)/(9)，即圆Q的半径为(r)/(9)．
（2）∵sinθ=(x)/(r-x)，解得：x=(rsinθ)/(1+sinθ)，
又∵sinθ=(y)/(r-2x-y)，
∴解得：y=(rsinθ(1-sinθ))/((1+sinθ)2)．
令sinθ=t，0<t<1，y=r•(t-t2)/((1+t)2)，
则y′=r•(1-3t)/((1+t)3)，
令y′=0，则t=(1)/(3)，
0<t<(1)/(3)时，y′>0； (1)/(3)<t<1时，y′<0．
∴当t=(1)/(3)时，y_极大值=y_max，
∴圆Q的半径的最大值为(r)/(8)，此时sinθ=(1)/(3)．