四个半径为R的球两两相切,在四球形成的间隙中放入一个半径为r的球使之与另外四球均相切,求R与r关系?四个球为空间正四面体构型,不在同一平面看上（想金字塔）.麻烦用几何方法解下,着急

Question

四个半径为R的球两两相切,在四球形成的间隙中放入一个半径为r的球使之与另外四球均相切,求R与r关系?
四个球为空间正四面体构型,不在同一平面看上（想金字塔）.麻烦用几何方法解下,着急用,

Answer 1

即可以理解为 一个正空间四面体,是个顶点分别为四个打球的圆心,每条棱长为2R,
小球的球心就是这个正四面体的几何中心,这个几何中心到四个顶点的距离都是r+R.这个几何中心也是这个正四面体的外接圆的圆心.
求正四面体外接圆半径的方法是：
将正四面体放在正方体中,正方体的外接球即为此正四面体的外接球.
设正四面体的棱长为a,这正方体的棱长为a·sin45°,正方体的外接球的半径是其棱长的二分之根号三倍,所以公共的外接球的半径是四分之根号六a.R=√6a/4
所以正四面体外接圆半径为 √6a/4 把a=2R带入即为：√6R/2
所以r+R=√6R/2 关系就出来啦~
文字能看明白么?待会给你上图,我用画板给你画