（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2-4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2=-p，x1•x2=q．（2）已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（-1，-1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小

Question

（1）已知一元二次方程x²+px+q=0（p²-4q≥0）的两根为x₁、x₂；求证：x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q．
（2）已知抛物线y=x²+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（-1，-1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d²取得最小值，并求出最小值．

Answer 1

证明：（1）∵a=1，b=p，c=q
∴△=p²-4q
∴x=(-p±√(p2-4q))/(2)即x₁=(-p+√(p2-4q))/(2)，x₂=(-p-√(p2-4q))/(2)
∴x₁+x₂=(-p+√(p2-4q))/(2)+(-p-√(p2-4q))/(2)=-p，
x₁•x₂=(-p+√(p2-4q))/(2)•(-p-√(p2-4q))/(2)=q；
（2）把（-1，-1）代入y=x²+px+q得1-p+q=-1，
所以，q=p-2，
设抛物线y=x²+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x₁，0）、（x₂，0）
∵d=|x₁-x₂|，
∴d²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=p²-4q=p²-4p+8=（p-2）²+4
当p=2时，d²的最小值是4．