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(1)已知一元二次方程x2+px+q=0(p2-4q≥0)的两根为x1、x2;求证:x1+x2=-p,x1•x2=q.(2)已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点,且过点(-1,-1),设线段AB的长为d,当p为何值时,d2取得最小
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(1)已知一元二次方程x2+px+q=0(p2-4q≥0)的两根为x1、x2;求证:x1+x2=-p,x1•x2=q.
(2)已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点,且过点(-1,-1),设线段AB的长为d,当p为何值时,d2取得最小值,并求出最小值.
(2)已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点,且过点(-1,-1),设线段AB的长为d,当p为何值时,d2取得最小值,并求出最小值.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)∵a=1,b=p,c=q
∴△=p2-4q
∴x=
即x1=
,x2=
∴x1+x2=
+
=-p,
x1•x2=
•
=q;
(2)把(-1,-1)代入y=x2+px+q得1-p+q=-1,
所以,q=p-2,
设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为(x1,0)、(x2,0)
∵d=|x1-x2|,
∴d2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1•x2=p2-4q=p2-4p+8=(p-2)2+4
当p=2时,d2的最小值是4.
∴△=p2-4q
∴x=
-p±
| ||
2 |
-p+
| ||
2 |
-p-
| ||
2 |
∴x1+x2=
-p+
| ||
2 |
-p-
| ||
2 |
x1•x2=
-p+
| ||
2 |
-p-
| ||
2 |
(2)把(-1,-1)代入y=x2+px+q得1-p+q=-1,
所以,q=p-2,
设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为(x1,0)、(x2,0)
∵d=|x1-x2|,
∴d2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1•x2=p2-4q=p2-4p+8=(p-2)2+4
当p=2时,d2的最小值是4.
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