（2014•西城区二模）设A，B是椭圆W：x24+y23=1上不关于坐标轴对称的两个点，直线AB交x轴于点M（与点A，B不重合），O为坐标原点．（Ⅰ）如果点M是椭圆W的右焦点，线段MB的中点在y轴上，求直

Question

（2014•西城区二模）设A，B是椭圆W：(x2)/(4)+(y2)/(3)=1上不关于坐标轴对称的两个点，直线AB交x轴于点M（与点A，B不重合），O为坐标原点．
（Ⅰ）如果点M是椭圆W的右焦点，线段MB的中点在y轴上，求直线AB的方程；
（Ⅱ）设N为x轴上一点，且

OM

•

ON

=4，直线AN与椭圆W的另外一个交点为C，证明：点B与点C关x轴对称．

Answer 1

（Ⅰ）椭圆W：(x2)/(4)+(y2)/(3)=1的右焦点为M（1，0），
因为线段MB的中点在y轴上，
所以点B的横坐标为-1，
因为点B在椭圆W上，
将x=-1代入椭圆W的方程，得点B的坐标为（-1，±(3)/(2)）．…3分
所以直线AB（即MB）的方程为3x-4y-3=0或3x+4y-3=0．…5分
（Ⅱ）证明：设点B关于x轴的对称点为B₁（在椭圆W上），
要证点B与点C关于x轴对称，
只要证点B₁与点C重合，．
又因为直线AN与椭圆W的交点为C（与点A不重合），
所以只要证明点A，N，B₁三点共线．…7分
以下给出证明：
由题意，设直线AB的方程为y=kx+m，（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则B₁（x₂，-y₂）．
由

3x2+4y2＝12

y＝kx+m

，
得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，…9分
所以△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，
x1+x2＝−(8km)/(3+4k2)，x1x2＝(4m2−12)/(3+4k2)．…10分
在y=kx+m中，令y=0，得点M的坐标为（-(m)/(k)，0），
由

OM

•

ON

＝4，得点N的坐标为N（-(4k)/(m)，0），…11分
设直线NA，NB₁的斜率分别为k_NA，kNB1，
则k