已知椭圆的焦点在x轴上，椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到x轴的距离等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．

Question

已知椭圆的焦点在x轴上，椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到x轴的距离等于短半轴长的(2)/(3)，求椭圆的离心率．

Answer 1

设椭圆的标准方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1，（a>b>0），焦点坐标为（±c，0），
设M（x，y）在椭圆上，则P到x轴的距离等于短半轴长的(2)/(3)，
即x=c，y=(2)/(3)b，
Rt△MF₁F₂中，F₁F₂⊥MF₂，
∴丨F₁F₂丨²+丨MF₂丨²=丨MF₁丨²，即4c²+(4)/(9)=丨MF₁丨²，
根据椭圆的定义得：丨MF₁丨+丨MF₂丨=2a，
可得丨MF₁丨²=（2a-丨MF₂丨）²=（2a-(2)/(3)b）²，
∴（2a-(2)/(3)b）²=4c²+(4)/(9)b²，整理得4c²-4a²+(8)/(3)ab=0，
可得3（a²-c²）=2ab，
则3b²=2ab，则b=(2)/(3)a，
由题意的离心率e=(c)/(a)=√(1-(b2)/(a2))=(√(5))/(3)，
椭圆的离心率(√(5))/(3)．