如图①,抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=-3/2,且抛物线经过点A(-4,2),AB平行于x轴,交抛物线于点B.1.求抛物线的解析式和点B坐标2.过点A作AC垂直于X轴于C,在X轴上是否存在点D,使三角形AOC与三角形BOD

Question

如图①,抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=-3/2,且抛物线经过点A(-4,2),AB平行于x轴,交抛物线于点B.
1.求抛物线的解析式和点B坐标
2.过点A作AC垂直于X轴于C,在X轴上是否存在点D,使三角形AOC与三角形BOD相似?若存在,求出点D的坐标,若不在,请说明理由
3.如图2,将三角形AOB饶着点O按逆时针向旋转后到达三角形A`OB`的位置,当线段A`B`的中点正好落在直线OA上时,求直线A`B`与直线AB的交点P的坐标

Answer 1

⑴由已知：-b/(2a)=-3/2,2=16a-4b,
解得：a=1/2,b=3/2,
∴二次函数解析式为：Y=1/2X^2+3/2X,
令Y=2,X^2+3X-4=0,X=-4或1,∴B(1,2).
⑵过B作BD⊥X轴于D,则D(1,0),
∵AC/OD=OD/BD=2,∵∠ACO=∠BDO=90°,
∴ΔOAC∽ΔBOD,
过B作BD'⊥OB交X轴于D',易得ΔOBD∽ΔOD'B,OB^2=OD*OD;,OD'=5,
∴D'(5,0).
∴存在两个点D(1,0),D'(5,0).
⑶OA中点E(-2,1),A'B'=AB=5,

 
设OA中点为E,过O作OF⊥A'B'于F,∵OB=OE=√5=OB',OF为ΔOAB斜边上的高,OF=2,
∴EF=B'F=1,∴ΔOEF∽ΔOAC,
∴∠FOG=2∠AOC,
过F作FG⊥X轴于G,
∵tan∠AOC=1/2,∴tan∠FOG=2tan∠AOC/(1-tan∠AOC^2)=4/3,
∴FG=2OG,设OG=3m(m>0),则FG=4m,
在RTΔOFG中,9m^2+16m^2=4,m=2/5,
∴F(-6/5,8/5),
设直线EF解析式为Y=KX+b,得方程组：
8/5=-6/5K+b
1=-2K+b
解得：K=3/4,b=5/2,
∴直线A‘B解析式为：Y=3/4X+5/2,
当Y=2,即3/4X+5/2=2时,X=-2/3,
∴P(-2/3,2).