设总体X的概率密度为f（x，θ）=θ，0＜x＜11−θ，1≤x＜20，其他其中θ是未知参数（0＜θ＜1），X1，X2…Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1，x2…，xn中小于1的个数．（Ⅰ）

Question

设总体X的概率密度为f（x，θ）=

θ，  0＜x＜1

1−θ， 1≤x＜2

0   ，   其他

其中θ是未知参数（0＜θ＜1），X₁，X₂…X_n为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x₁，x₂…，x_n中小于1的个数．
（Ⅰ）求θ的矩估计；
（Ⅱ）求θ的最大似然估计．

Answer 1

（I）
因为：EX=

∫

+∞ −∞

xf(x，θ)dx=

∫

1 0

xθdx+

∫

2 1

x(1−θ)dx=(3)/(2)-θ，
令：(3)/(2)-θ=

.

X

，
可得θ的矩估计为：θ=(3)/(2)-

.

X

．

（II）
由已知条件，似然函数为：
L（θ）=

θθ…θ

N个

(1−θ)…(1−θ)

n−N个

=θ^N（1-θ）^n-N，
两边取对数得：
ln L（θ）=Nlnθ+（n-N）ln（1-θ），
两边对θ求导可得：
(d ln L(θ))/(dθ)=(N)/(θ)+(n−N)/(1−θ)，
令：(d ln L(θ))/(dθ)=0，
可得：θ=(N)/(n)，
故θ得最大似然估计为(N)/(n)．