设函数f（x，y）在R2内具有一阶连续偏导数，且∂f∂x=2x，证明曲线积分∫L2xydx+f（x，y）dy与路径无关．若对任意的t恒有∫(t，1)(0，0)2xydx+f（x，y）dy=∫(1，t)(0，0)2xydx+f（x，y）dy，求f（x，y

Question

设函数f（x，y）在R²内具有一阶连续偏导数，且(∂f)/(∂x)=2x，证明曲线积分

∫

L

2xydx+f（x，y）dy与路径无关．若对任意的t恒有

∫	(t，1) (0，0)

2xydx+f（x，y）dy=

∫	(1，t) (0，0)

2xydx+f（x，y）dy，求f（x，y）的表达式．

Answer 1

证明：因为∂f∂x=2x∂(2xy)∂y，故曲线积分∫ L2xydx+f（x，y）dy与路径无关．因此设f（x，y）=x2+g（y），从而有∫(t，1)(0，0)2xydx+f（x，y）dy=∫t00dx+∫10[t2+g(y)]dy=t2+∫10g(y)dy，而∫(1，t)(0，0)2...