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在直线l的一侧画一个半圆T,C,D是T上的两点,T上过C和D的切线分别交l于B和A,半圆的圆心在线段BA上,E是线段AC和BD的交点,F是l上的点,EF垂直l.求证:EF平分∠CFD.

题目详情
在直线l的一侧画一个半圆T,C,D是T上的两点,T上过C和D的切线分别交l于B和A,半圆的圆心在线段BA上,E是线段AC和BD的交点,F是l上的点,EF垂直l.求证:EF平分∠CFD.
▼优质解答
答案和解析
证明:如图,设AD与BC相交于点P,用O表示半圆T的圆心,
过P作PH丄l于H,连OD,OC,OP.由题意知Rt△OAD∽Rt△PAH,
于是有
AH
AD
HP
DO

类似地,Rt△OCB∽Rt△PHB,
则有
BH
BC
HP
CO

由CO=DO,有
AH
AD
BH
BC
,从而
AH
HB
BC
CP
PD
DA
=1.
由塞瓦定理的逆定理知三条直线AC,BD,PH相交于一点,即E在PH上,点H与F重合.
因∠ODP=∠OCP=90°,所以O,D,C,P四点共圆,直径为OP.
又∠PFC=90°,从而推得点F也在这个圆上,
因此∠DFP=∠DOP=∠COP=∠CFP,
所以EF平分∠CFD.