已知AB是半圆O的直径,点C在BA的延长线上运动(点C与点A不重合),以OC为直径的半圆M

Question

已知AB是半圆O的直径,点C在BA的延长线上运动(点C与点A不重合),以OC为直径的半圆M

Answer 1

已知AB是半圆O的直径,点C在BA的延长线上运动（点C与点A不重合）,以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D,∠DCB的平分线与半圆M交于点E．
（1）求证：CD是半圆O的切线；
（2）作EF⊥AB于点F,猜想EF与已有的哪条线段的一半相等,并加以证明；
（3）在上述条件下,过点E作CB的平行线交CD于点N,当NA与半圆O相切时,求∠EOC的正切值．
原题目是这样嘛?
如果是,
分析：（1）连接OD,由直径对的圆周角是直角知∠CDO=90°,再切线的判定方法即可判定CD是半圆O的切线；
（2）连接OD、OE,延长OE交CD于点K,作EG⊥CD于点G,则根据垂直于同一直线的两条直线平行知,EG∥OD．CE平分∠DCB,由角的平分线上的点到角的两边的距离相等知EG=EF,由直径对的圆周角是直角知∠CEO=∠CEK=90°,易得△COE≌△CKE,有OE=KE,即点E是OK的中点,所以EG是△ODK的OD边对的中位线,则EG是OD的长的一半,从而得证题设；
（3）,延长OE交CD于点K,设OF=x,EF=y,由2中知,OA=OK=2OE=2y,易得四边形AFEN是矩形,有NE=AF=OA-OF=2y-x．由于NE∥OC,点E是OK的中点,则EN是△OCK的OC对的中位线,有N是CK的中点．所以CO=2NE=2（2y-x）,进一步得到CF=CO-OF=4y-3x,由Rt△CEF∽Rt△EOF则有EF^2=CF•OF,由此得到关于x,y的方程,变形即可求出 y/x=3或 y/x=1进而确定tan∠EOC的值．
证明：（1）连接OD,
则OD为半圆O的半径
∵OC为半圆M的直径
∴∠CDO=90°
∴CD是半圆O的切线；
（2）猜想：EF= 1/2OA．
证明：
连接OD、OE,延长OE交CD于点K,作EG⊥CD于点G,则EG∥OD,
∵CE平分∠DCB,
∴∠OCE=∠KCE．
∵EF⊥AB,
∴EG=EF．
∵OC是半圆M的直径,E为半圆M上的一点,
∴∠CEO=∠CEK=90°．
∵CE为公共边,
∴△COE≌△CKE．
∴OE=KE．
∵EG∥OD,
∴DG=GK．
∴EF=EG= 1/2OD= 1/2OA．
延长OE交CD于点K,
设OF=x,EF=y,则OA=2y,
∵NE∥CB,EF⊥CB,NA切半圆O于点A,
∴四边形AFEN是矩形,
∴NE=AF=OA-OF=2y-x,
同（2）证法一,得E是OK的中点,
∴N是CK的中点,
∴CO=2NE=2（2y-x）,
∴CF=CO-OF=4y-3x,
∵EF⊥AB,CE⊥EO,
∴Rt△CEF∽Rt△EOF,
∴EF^2=CF•OF,即y^2=x（4y-3x）,
解得 y/x=3或 y/x=1,
当 y/x=3时,tan∠EOC= EF/OF= y/x=3,
当 y/x=1时,点C与点A重合,不符合题意,故舍去,
∴tan∠EOC=3．