已知△ABC中，（tanA+1）（tanB+1）=2，AB=2，求：（1）角C的度数；（2）求三角形ABC面积的最大值．

Question

已知△ABC中，（tanA+1）（tanB+1）=2，AB=2，求：
（1）角C的度数；
（2）求三角形ABC面积的最大值．

Answer 1

记角A、角B、角C的对边分别为a、b、c
（1）tanA+tanB+tanAtanB+1=2，即tanA+tanB=1-tanAtanB，
∵1-tanAtanB≠0，
∴tan（A+B）=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=1，
即tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）=-1，
∵C∈（0，π），∴C=(3π)/(4)；
（2）由余弦定理a²+b²-2abcosC=c²得：
a²+b²+2×(√(2))/(2)ab=4，即a²+b²+√(2)ab=4，
而4-√(2)ab=a²+b²≥2ab，即ab≤4-2√(2)，
所以S_△ABC=(1)/(2)absinC=(√(2))/(4)ab≤(√(2))/(4)（4-2√(2)）=√(2)-1．