微分的概念性问题我们知道微分中有dy=A ·（⊿x）,为什么又出来个dy=A ·dx?dx和 （⊿x）有什么区别?微分的求法是不是求一个复杂函数的导数,最后乘个dx?假如dy=4dx,那么当x=0时,dy=4dx还是dy=4d0,还

Question

微分的概念性问题
我们知道微分中有dy=A ·（⊿x）,为什么又出来个dy=A ·dx?dx和 （⊿x）有什么区别?微分的求法是不是求一个复杂函数的导数,最后乘个dx?假如dy=4dx,那么当x=0时,dy=4dx还是dy=4d0,还是dy=0?为什么?
课本上的微分感觉好枯燥.（其实我觉得我的问题很基础.

Answer 1

微分dy的理解.
⊿x指自变量x的变化量,是非无限小变化量.
dx是指x的无限小变化量.
⊿y指在自变量变化⊿x的时候y的变化量.
dy是指,在自变量x无限小变化量dx的基础上,因变量y的相应的变化量.
lim ⊿y/⊿x 当x变化量趋于无限小的时候 这种变化率,称为导数f'(x).即dy/dx.
导数f'(x)是自变量无限小变化时的函数相对于自变量的变化率.即 f'(x)=dy/dx.
自然 dy = f'(x) dx
因为f'(x)是自变量无限小变化dx的变化率,而dy也是在无限小自变量变化下才会等于无限小⊿x变化下的⊿y.
当dx给定非无限小的一个量比如⊿x的时候,自然所谓的算出的dy（其实是另一种[⊿y],不是dy,因为dy是在dx无限小情况下的,也不是⊿y,因为这个[⊿y]是用f'(x)dx算出来的,而f'(x)这个变化率是⊿x无限小的变化率⊿y/⊿x）不可能是⊿y,这个所谓的dy只能是⊿y的线性主部.
导数,微分,不定积分,定积分
导数是求极限,f'(x),当dx时候dy的变化率,即dy/dx
微分dy是在dx变化下的变化,因为f'(x)是自变量变化趋于零的极限变化率,所以dx可以理解为自变量的微分,dy理解为函数的微分,都是无限小的变化,只不过dy是依赖于dx的.但是一旦dx取定为非零值,那么dy就是函数y变化的线性主部.
不定积分
是求一个函数的原函数
定积分
是求值,从几何意义上理解,是求面积.
函数相对于自变量的瞬时变化率,即自变量变化趋于零的时候,这个极限,被定义为导数,引进符号f'(x),来表示.
自变量的趋于零的变化,引进dx来表示,称为自变量微分.当自变量变化为dx的时候,引进dy来表示函数的变化,称为函数微分.
所以有了dy = f'(x)dx,这里f'(x)与dx是乘积的关系.
当知道一个函数F(x)的微分dF(x)或者导数f'(x)的时候,为了求得这个函数,引进了不定积分概念.
∫f'(x)dx 或者 fdF(x)
不定积分是为了求一个函数,原函数.
当知道一个函数,为了求这个函数在某个区间的,自变量的微分与函数值的乘积的累积和,引进的定积分概念.
定积分是为了求一个值.