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设x≥0,y≥0,x^2+y^2/2=1,求x√1+y^2的最大值?
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设x≥0,y≥0,x^2+y^2/2=1,求x√1+y^2的最大值?
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答案和解析
x*根号下(1+y^2)
=根号下(x^2+x^2y^2)
y^2/2=1-x^2
y^2=2-2x^2>=0
0<=x^2<=1
所以x^2+x^2y^2=x^2+2x^2-2x^4
=-2x^4+3x^2
令a=x^2,0<=a<=1
x^2+x^2y^2=-2a^2+3a=-2(a-3/4)^2+9/8
所以a=3/4,x^2+x^2y^2最大=9/8
此时x^2=3/4,x=√3/2
所以x=√3/2,x√(1+y^2)最大=3√2/4
=根号下(x^2+x^2y^2)
y^2/2=1-x^2
y^2=2-2x^2>=0
0<=x^2<=1
所以x^2+x^2y^2=x^2+2x^2-2x^4
=-2x^4+3x^2
令a=x^2,0<=a<=1
x^2+x^2y^2=-2a^2+3a=-2(a-3/4)^2+9/8
所以a=3/4,x^2+x^2y^2最大=9/8
此时x^2=3/4,x=√3/2
所以x=√3/2,x√(1+y^2)最大=3√2/4
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