一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为（1803）°的扇形，用经过圆锥顶点的平面截圆锥，当截面面积最大时，求：（1）最大截面面积．（2）截面与底面所成锐二面角的大小．

Question

一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为（180√(3)）°的扇形，用经过圆锥顶点的平面截圆锥，当截面面积最大时，求：
（1）最大截面面积．
（2）截面与底面所成锐二面角的大小．

Answer 1

（1）由已知得，圆锥底面半径r=√(3)，h=1，如图，
设过圆锥顶点的截面为VAB，过底面圆心O作OD⊥AB于D，
并设OD=x（0≤x＜√(3)），
则VD=√(1+x2)，DA=√(3−x2)，所以截面VAB的面积
S=√((1+x2)(3−x2))＝√(−(x2−1)2+4)，故当x=1时，S最大为2（5分）
（2）由（1）得，OD⊥AB，VD⊥AB，所以，∠VDO就是二面角V-AB-O的平面角，
即截面与底面所成锐二面角的平面角，由（1）知在Rt△VDO中，VO=OD=1，
所以∠VDO=45°．