设首项不为零的等差数列{an}前n项之和是Sn，若不等式an2+Sn2n2≥λa12对任意an和正整数n恒成立，则实数λ的最大值为1515．

Question

设首项不为零的等差数列{a_n}前n项之和是S_n，若不等式an2+(Sn2)/(n2)≥λa12对任意a_n和正整数n恒成立，则实数λ的最大值为

(1)/(5)

(1)/(5)

．

Answer 1

在等差数列{a_n}中，首项不为零，即a₁≠0；则数列的前n项之和为S_n=(n(a1+an))/(2)；
由不等式an2+(Sn2)/(n2)≥λa12，得a_n²+((n2(a1+an)2)/(4))/(n2)≥λa₁²，
∴(5)/(4)a_n²+(1)/(2)a₁a_n+(1)/(4)a₁²≥λa₁²，即(5)/(4)((an)/(a1))2+(1)/(2)(an)/(a1)+(1)/(4)≥λ；
设t=(an)/(a1)，则y=(5)/(4)t²+(1)/(2)t+(1)/(4)=(5)/(4)(t+(1)/(5))2+(1)/(5)≥(1)/(5)，
∴λ≤(1)/(5)，即λ的最大值为(1)/(5)；
故答案为(1)/(5)．