有人玩掷硬币走跳跳棋的游戏，已知硬币出现正反面的概率都是0.5．棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…第10站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次．若掷出正面

Question

有人玩掷硬币走跳跳棋的游戏，已知硬币出现正反面的概率都是0.5．棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…第10站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次． 若掷出正面，棋向前跳一站（从k到k+1）；若掷出反面，棋子向前跳二站（从k到k+2），直到棋子跳到第9站（胜利大本营）或跳到第10站（失败集中营）时，该游戏结束．那么棋子跳到第10站的概率为

(683)/(1024)

(683)/(1024)

．

Answer 1

设棋子跳到第n站的概率为P（n），
根据题意，棋子要到第n站，有两种情况，（2≤n≤10）
①由第（n-1）站跳到，即第（n-1）站时掷出正面，其概率为(1)/(2)P（n-1），
②由第（n-2）站跳到，即第（n-2）站时掷出反面，其概率为(1)/(2)P（n-2），
则P（n）=(1)/(2)P（n-1）+(1)/(2)P（n-2），
∴P（n+1）=(1)/(2)P（n）+(1)/(2)P（n-1），
两边都减去P（n），得P（n+1）-P（n）=-(1)/(2)[P（n）-P（n-1）]，（1≤n≤9，n∈N），
故数列{P（n+1）-P（n）}是等比数列，它的公比为-(1)/(2)，
∵P（1）=(1)/(2)，P（2）=(1)/(2)×(1)/(2)+(1)/(2)=(3)/(4)，
首项为    P（2）-P（1）=(1)/(4)=(−(1)/(2))2…（1）
第二项为  P（3）-P（2）=-(1)/(2)[P（2）-P（1）]=-(1)/(8)=(−(1)/(2))3…（2）
第三项为  P（4）-P（3）=-(1)/(2)[P（3）-P（2）]=(1)/(16)=(−(1)/(2))4…（3）
…
第九项为 P（10）-P（9）=-(1)/(2)[P（9）-P（8）]=(1)/(210)=(−(1)/(2))10…（9）
将此九个式累加，得P（10）-P（1）=[(−(1)/(2))2+

作业帮用户 2017-09-27 举报