对非负整数n,满足方程x+y+2z=n的非负整数（x,y,z）的组书记为An.（1）求a3的值；求a2001的值

Question

对非负整数n,满足方程x+y+2z=n的非负整数（x,y,z）的组书记为An.（1）求a3的值；求a2001的值

Answer 1

对任意n,z的取值有0,1,2,...,[n/2],（[x]是高斯函数,表示对x取整）,共1+[n/2]个取值；
对z的每一种取值,有x+y=n-2z,x的可能取值为0,1,2,...,n-2z,共n-2z+1种取值.
对x的每一种取值,y都有唯一一种取值.
故A_n=∑(n-2z+1)（z=0..[n/2]）,
当n为奇数时,[n/2]=(n-1)/2,
A_n=∑(n-2z+1)（z=0..(n-1)/2）
=∑(n+1)-2∑z（z=0..(n-1)/2）
=(1+(n-1)/2)*(n+1)-(1+(n-1)/2)*(n-1)/2
=(n+1)(n+3)/4,
所以A_3=6,A_2001=2002*2004/4=1003002