试求同时满足下列三个条件的三元有序整数组（a,b,c）的个数.①b^2-ac=0,且a,b,c都不为0②a+c-2b+2=0③a,b,c的绝对值均为整数,且最大值不超过128

Question

试求同时满足下列三个条件的三元有序整数组（a,b,c）的个数.①b^2-ac=0,且a,b,c都不为0 ②a+c-2b+2=0 ③a,b,c的绝对值均为整数,且最大值不超过128

Answer 1

a+c-2b+2=0,得
a+c+2=2b
两边平方得
a^2+c^2+4+2ac+4a+4c=4b^2=4ac
a^2+c^2+4-2ac+4a+4c=0
(a-c)^2=-4(a+c+1)
a+c+1≤0
a+c≤-1
b^2-ac=0,得a,c同号
a≤－1,c≤-1
(a-c)^2=-4(a+c+1)=-4(2b-1)
2b-1≤0
b≤1/2
a,b,c都不为0,为整数
b≤-1
b^2-ac=0,得
a,b,c成等比数列,
又因a,b,c全为负整数
所以等比q为正整数
(1)设a>b>c,则由
a+c-2b+2=0
a=-2/(q-1)^2
a,q都为整数
所以q=2
a=-2
b=-4
c=-8
(2)ca+c-2b+2=0
c=-2/(q-1)^2
c,q都为整数
所以q=2
c=-2
b=-4
a=-8
综合：(-2,-4,-8),或(-8,-4,-2)