二阶常系数齐次线性微分方程求解推导过程的疑问 y’’+py’+qy=0 书上说的是设y=e^rx为二阶常系数齐次线性微分方程求解推导过程的疑问y’’+py’+qy=0书上说的是设y=e^rx为上述方程的解,但是

Question

二阶常系数齐次线性微分方程求解推导过程的疑问 y’’+py’+qy=0 书上说的是设y=e^rx为
二阶常系数齐次线性微分方程求解推导过程的疑问
y’’+py’+qy=0
书上说的是设y=e^rx为上述方程的解,但是为什么解的形式一定是这样的?怎么证明没有其它的函数满足上述微分方程?
我脑子都被弄糊涂了,该方程一定就只有1个通解么?为什么不能是其它函数y1(x)满足该方程,得到另一种格式的特解?然后求出另一种通解.
这个疑问来源于前面的微分方程解都是由积分得到通解的,而这个方程却是由找函数找出解的形式的,怎样保证其格式的唯一性呢?

Answer 1

书本上这样写,是有其道理和前铺的,前面介绍了大量解的结构,然后给出
e^rx
这样形式的解,发现r与一元二次方程的根有关.
其实,针对y”+py‘+qy＝0
的求解问题,我上个世纪发表过一篇小论文,可以用降阶法进行计算,其中
p^2-4q＞0
的情形非常简单.
通解确实与书上一致的.