已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l．（1）求抛物线上任意一点Q到定点N（2p，0）的最近距离；（2）过点F作一直线与抛物线相交于A，B两点，并在准线l上任取一点M，当M不在x轴上时

Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l．
（1）求抛物线上任意一点Q到定点N（2p，0）的最近距离；
（2）过点F作一直线与抛物线相交于A，B两点，并在准线l上任取一点M，当M不在x轴上时，证明：(kMA+kMB)/(kMF)是一个定值，并求出这个值．（其中k_MA，k_MB，k_MF分别表示直线MA，MB，MF的斜率）

Answer 1

（1）设点Q（x，y），则|QN|²=（x-2p）²+y²=（x-p）²+3p²
当x=p时，|QN|min＝√(3)p
（2）由条件设直线AB：x＝my+(p)/(2)代入y²=2px
得y²-2pmy-p²=0，
设A(x1，y1)， B(x2，y2)， M(−(p)/(2)，y0)
则y1+y2＝2pm，  y1y2＝−p2，  x1+x2＝2pm2+p，  x1x2＝(p2)/(4)kMA+kMB＝(y1−y0)/(x1+(p)/(2))+(y2−y0)/(x2+(p)/(2))＝((x2+(p)/(2))(y1−y0)+(x1+(p)/(2))(y2−y0))/(x1x2+(p)/(2)(x1+x2)+(p2)/(4))=(y1(my2+(p)/(2)+(p)/(2))+y2(my1+p)−y0(x1+x2+p))/(x作业帮用户2016-12-04举报问题解析（1）可以设出点Q坐标，用Q点坐标表示|QN|，再利用二次函数求最值即可．（2）因为过点F作一直线与抛物线相交于A，B两点，可设出直线方程的点斜式，代入抛物线方程，消x，得到y2-2pmy-p2=0，求两根之和，两根之积，这样，就可以用A，B含k的式子表示(kMA+kMB)/(kMF)，再消掉k，即可得结果，为一定值．名师点评本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．考点点评：本题考查了只限于圆锥曲线的位置关系的判断，做题时应该认真分析，找到突破口．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)