椭圆中点的轨迹已知点（x,y）在椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(注：后面的2是平方的意思)（a>b>0）的第一象限上运动.求（1）.点（y/x,xy）的轨迹T的方程；（2）若把轨迹T的方程表达式记为y=f(x),且在（0,三

Question

椭圆中点的轨迹
已知点（x,y）在椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(注：后面的2是平方的意思)（a>b>0）的第一象限上运动.求（1）.点（y/x,xy）的轨迹T的方程；（2）若把轨迹T的方程表达式记为y=f(x),且在（0,三分之根号三）内y=f(x)有最大值,试求椭圆C的离心率的取值范围.（对不起啦,三分之根号三打不出来）,急,好的追分

Answer 1

解:（1）用三角代换：
点（x,y)在椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0）的第一象限上运动,设：
x=acos@
y=bsin@ 其中@属于（0度,90度）
设点（y/x,xy）的横坐标为X,纵坐标为Y,
则:
X=y/x=btan@/a 因为@属于（0度,90度）,所以X>0
Y=xy=(absin2@)/2
利用万能公式sin2@=2tan@/[(1+(tan@)^2]消去参数@得:
Y=(a^2)*(b^2)X/(b^2+a^2*X^2) (X>0)
所以所求点的轨迹方程为：
Y=(a^2)*(b^2)X/(b^2+a^2*X^2) (X>0)
（2）函数y=f（x）=(a^2)*(b^2)x/(b^2+a^2*x^2)可变形为
y=(a^2)*(b^2)/[(b^2)/x+(a^2)*x],
函数y=f(x)在（0,SQR（3）/3）上有最大值,即：
g(x)=(b^2)/x+(a^2)*x在（0,SQR（3）/3）上有最小值,
g(x)为“对号函数”,当x>0时在（b^2)/x=(a^2）*x即x=b/a时取得最小值,因此,必有b/a>SQR（3）/3,
所以(b^2)/(a^2)>1/3
又e=SQR[1-(b^2)/(a^2)],
所以:0所以椭圆C的离心率的取值范围为（0,SQR（6）/3）
[说明：如果不熟悉“对号函数”,可对y=g(x)求导,即可解决.事实上,“对号函数”作为版块知识,应该记忆,但具体解决的时候,是要把求导过程“写”出来就行,我们把这叫做“版块插入”.]