求近视代数题目证明，谢谢！设R是偶数环，p是素数，(1)证明：（2p)是R的极大理想。(2)证明：当p不等于2时，（2p)是素理想，而（4）不是素理想。

Question

求近视代数题目证明，谢谢！
设R是偶数环，p是素数，(1)证明： （2p)是R的极大理想。
(2)证明：当p不等于2时，（2p)是素理想，而（4）不是素理想。

Answer 1

假设(2p)不是R的极大理想，则存在一个理想I使I是R的真子集且(2p)是I的真子集。取2k∈I但不属于(2p)，则k必与p互素（否则p|k，2k是2p的倍数，从而2k∈(2p)），则对任意整数z都存在整数m,n使z=mp+nk，即2z=m·2p+n·2k∈I，从而I=R，矛盾。因此(2p)是R的极大理想。
当p不等于2时，任取2a,2b使2a·2b∈(2p)，则p|4ab，由于p是素数，必有p|a或p|b，即必有2p|2a或2p|2b，即2a∈(2p)或2b∈(2p)，因此因此(2p)是R的素理想。
而4=2×2∈(4)，但2不属于(4)，因此(4)不是素理想。